SPC (parte IV) - Tamanho das amostras e erro tipo I e tipo II

Continuação de: parte zero; parte I; parte II e parte III
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Consideremos uma amostra de tamanho 5 retirada de um processo produtivo.
A partir dessa amostra calcula-se a média e o desvio padrão.Se recolhermos amostras de tamanho 5 ao longo do tempo como é que se vai comportar a média e o desvio padrão?
Será que se mantêm constantes? Ou será que vão andar à deriva?Ao usarmos uma carta de controlo estamos na realidade a aplicar constantemente um teste de hipóteses:
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H0: O processo está a operar num estado de controlo estatístico (manutenção da média e do desvio padrão)
H1: O processo não está a operar num estado de controlo estatístico
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Se um ponto registado na carta de controlo não denotar nenhuma das situações que indicam a presença de causas especiais ou assinaláveis no processo, então, poderemos dizer que o processo está a operar num estado de controlo estatístico.
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No mundo real o estado do processo é desconhecido, não se sabe se H0 é verdadeira ou falsa. Se se tiver de tomar a decisão de aceitar ou não H0, na presença de incerteza, temos de aceitar correr riscos, tanto maior quanto maior a largura entre os limites de controlo.
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Consideremos um processo de produção que produz vários milhões de peças, com um tempo de vida médio miú= 1200 h e um desvio padrão sigma = 300 h.
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Para aplicar o teste de hipóteses na avaliação de um novo processo, para saber se é melhor ou pior que o existente, actuaremos da seguinte forma:
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1. A hipótese nula é formalizada (H0: miú= 1200). Ao mesmo tempo, indicamos o tamanho da amostra (por exemplo n=100), e o erro alfa admitido (5%, ou seja em cada 100 vezes que o teste seja efectuado aceitamos correr o risco de em 5 vezes rejeitar a hipótese nula quando na realidade ela é verdadeira).
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2. Assumimos, temporariamente, que a hipótese nula é verdadeira. E colocamos a questão: o que poderemos esperar de uma média amostral retirada deste universo?A área sombreada da curva normal representa a gama de valores para a média em que a hipótese nula é rejeitada.
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3. Recolhendo a amostra, calcula-se a média. Se a média observada Xmed cai dentro da área de rejeição, considera-se que existe um conflito suficientemente grande entre a realidade e a hipótese nula, de forma que se rejeita a hipótese nula. Caso a média não caia dentro da área de rejeição a hipótese nula não pode ser rejeitada.
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O valor crítico Xmed crítico = 1249 para este teste foi calculado a partir da área alfa sombreado de uma curva normal para o valor a=5%
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Uma outra forma de “ajuizar” a ocorrência de uma média superior a 1249 é:
H0 é verdadeira, mas tivemos um tal azar que recolhemos uma amostra muito pouco provável. Ou:
H0 não é verdadeira, daí não ser surpresa o valor alto obtido para a média.
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No processo de decisão, perante as duas opções (aceitar ou não H0) corremos o risco de cometer dois tipos diferentes de erros.
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O primeiro apresenta-se na figura:Esta figura mostra-nos o mundo na condição de H0 ser verdadeira. Nesta hipótese, existe um risco de 5% de observarmos Xmed na região sombreada, nesse caso erradamente rejeitaremos a hipótese verdadeira H0. Rejeitar H0 quando é verdadeira corresponde ao chamado erro tipo I, com a sua probabilidade de ocorrência igual a alfa.
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Mas suponhamos que a hipótese nula H0 é falsa – isto é, que a hipótese alternativa H1 é verdadeira – e, para concretizar, suponhamos que miú= 1240. Nesse caso estaremos a viver num mundo diferente. Agora Xmed distribui-se em torno de miú= 1240 como se mostra na figura:A decisão correcta, neste caso, seria rejeitar a falsa hipótese nula H0.
Cometeríamos um erro se Xmed caísse na zona de aceitação da hipótese nula H0. A aceitação de H0 quando na realidade H0 é falsa é chamada de erro tipo II. A sua probabilidade de ocorrência é beta e corresponde À área a sombreado da figura anterior.
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No mundo real o estado do mundo é desconhecido, não se sabe se H0 é verdadeira ou falsa. Se se tiver de tomar a decisão de aceitar ou não H0, na presença da incerteza, temos de aceitar correr riscos de um tipo ou de outro.
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Na figura:Ilustra-se mais uma vez as probabilidades de cada um dos tipos de erro, alfa se H0 é verdadeira, e beta se H0 é falsa.
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Na figura: Ilustra-se como a redução de alfa (movendo o ponto crítico para a direita, por exemplo para 1270) aumentará ao mesmo tempo beta. Ou seja, a mexida em alfa afectará beta automaticamente em sentido contrário.Teremos sempre de optar por um compromisso entre alfa e beta.
A única forma de reduzir um erro sem aumentar o outro passa por aumentar o tamanho da amostra.
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Por exemplo:A figura mostra como, aumentando o tamanho da amostra, a diminuição do desvio padrão (dividido por raiz de n), torna a distribuição mais precisa, possibilitando que beta se reduza sem aumentar alfa.
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Por isso, devemos procurar trabalhar sempre com tamanhos de amostra superiores.